芬兰航空行李规定2017:中国古代数学概述

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数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一,通常称为算术,即「算数之术」。陈子说:「算数之术,是用智矣。」(《周髀(小老师)) 算经》卷上)汉唐数学著作大多名之曰「某某算术」。唐初后,为了表示尊崇数学,才改称「某某算经」。因此,古代的术语「算术」相当于英文的mathematics,而不是arithmetic。它包含今天数学教科书中算术、代数、几何、三角等方面的内容。后来,算术又称为算学、算法。宋元开始使用「数学」,不过,其含义除了现今的数学外,有时还含有「象数学」的内容。此后,算学、数学并用。1939年6月,中国数学名词审查委员会确定使用「数学」而废止「算学」。
中国传统数学可以分成远古至春秋的萌芽,战国秦汉框架的确立,三国至唐初理论的奠基,唐中叶至元中叶的高潮,元中叶至明代的衰落,明末至清末中西数学的会通几个阶段。中国传统数学密切联系社会实际,长于计算,其算法具有程序化、机械化的特点,有的可以直接用于电子电脑,并对现今的数学教育、数学研究有启迪作用。




数学中心的转移:
人类进入文明时代以来,数学中心经过了几次大转移。公元前19世纪至公元前6世纪的古巴比伦 (小知识) 最先进入文明社会,他们的数学知识自然超前其他民族。巴比伦数学以计算为主。公元前6世纪,数学中心转移到了古希腊,以研究空间形式为主,形成了严密的公理化体系,十分发达。公元前2世纪前后,古希腊数学走向衰替,以探讨数量关系为主的中国数学后来居上,在文艺复兴(15、16世纪)之前,中国数学(到14世纪初),以及后来发展起来的印度、阿拉伯数学占据了世界数学舞台的中心。文艺复兴之后,世界数学中心转移到了欧美。从公元前2、3世纪至公元14世纪初,长达一千六、七百年,中国传统数学虽有高潮、低潮,却一直走在世界的前列。


我们的先民在与自然界的接触中积累了许多数和形的知识,逐步认识了数和形的概念。新石器时代出土的陶器上有圆形和其他规则的几何图形,还有若干数字符号。相传黄帝的臣子隶首作数,是这个时代晚期的写照。当时,人们还创造了画圆的工具规,画方及测望的工具矩 (小知识)。甲骨文数字已是十进位,并有位置值制萌芽。殷末周初,人们便用矩测望高深广远,具备了简单的勾股 (小知识) 知识。周初,周公制礼,数学成为贵族子弟教育中的「六艺 (小知识)」之一。最晚在春秋时代,人们已能熟练使用算筹这种当时世界上最优越的计算工具,应用十进位置值制这种最先进的记数法,谙熟九九乘法表、整数四则运算,并使用了分数。然而,这一时代没有一部数学著作流传到后世。







战国时期,生产关系发生极大变革,生产力得到长足进步,思想界互相辩诘 (小老师),百家争鸣,人们的数学知识也取得更大的进步。经过长期积累,最晚到战国时期,形成了「九数」即数学的9个分支:方田、粟米、差 (小老师) 分(后称衰 (小老师) 分)、少广、商功、均输、盈不足、方程、旁要(后扩充为勾股),它们形成了中国传统数学的基本框架。人们编纂了《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》等著作,包括分数四则运算法则、比例(今有术)与比例分配(衰分术与均输术)算法、盈不足术、勾股定理与解勾股形方法和测望问题、若干面积与体积公式、开平方法与开立方法、线性方程组解法(方程术)、正负数加减法则等内容,在若干领域超前其他文化传统几百年甚至上千年。《九章算术》等著作以抽象的算法(术)为中心,术文统率例题,密切联系实际,决定了此后二千余年中国和东方数学的特点与风格。《九章算术》的编定,标志着世界数学中心从古希腊转移到了中国,也标志着数学研究从以定性研究为主转变为以定量研究为主。然而这些著作都没有推理和证明,是其严重缺点。
《九章算术》中的分类今解表
方田
面积问题与分数四则运算法则
粟米比例问题算法
衰分比例分配算法
少广面积、体积问题的逆运算,特别是开平方与开立方法
商功土方工程的分配与体积问题
均输赋税的公平负担问题及各种算术难题
盈不足今盈亏类问题解法
方程线性方程组解法
勾股解勾股形与一次测望问题
田忌赛马
这是一个对策论问题。齐将田忌与齐王与诸公子赛马,各有上、中、下三等马。孙膑 (小老师) 发现各等中的马相差无几,如果同一场用同等的马比赛,没有取胜的把握,便谓田忌:请重下赌注,我「能令君胜」。田忌遂与齐王及诸公子赌千金。临赛前,孙膑谓田忌曰:「今以君之下驷与彼上驷,取君上驷与彼中驷,取君中驷与彼下驷。」三场赛毕,田忌二胜一负,最终得到齐王的千金。
引葭赴岸
国内外许多中学数学参考书中有所谓印度莲花问题,实际上是《九章算术》勾股章「引葭 (小老师) 赴岸」问的改写,却晚出1000多年。数典不能忘祖,这个问题是:「今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何?」《九章算术》的解法是:「术曰:半池方自乘,以出水一尺自乘,减之。余,倍出水除之,即得水深。加出水数,得葭长。」即:,葭长 = 水深 + 出水
刘徽认为,在这里,池方是勾,水深为股,葭长为弦,这是一个已知勾 a 与股弦差 c - b,求股b、弦 c 的问题,应用了公式。刘徽用出入相补原理证明了公式的正确。


东汉末年到魏晋时期,庄园农奴制和门阀士族占据了经济政治舞台的中心;儒家在思想界的统治地位被削弱,谶纬 (小知识) 迷信与繁琐的经学退出了历史舞台,代之以谈「三玄」(《易经》、《老子》、《庄子》)为主、以「析理」为方法的辩难之风。受此影响,赵爽撰《周髀算经注》,以出入相补原理证明了前此的勾股知识;魏刘徽撰《九章算术注》,总结、发展了《九章算术》编纂 (小老师) 时代就使用的出入相补原理、截面积原理、齐同原理与率的理论,完善了重差术,引入了极限思想和无穷小分割方法,「析理以辞,解体用图」,以演绎逻辑全面证明了《九章算术》的公式、算法,奠定了中国传统数学的理论基础。他还首创了求圆周率 (小知识) 的正确方法及若干新的方法,纠正了《九章算术》的许多失误。南朝祖冲之著《缀术》,是一部水平比刘徽《九章算术注》更高的著作,可惜隋唐算学馆学官(相当于今著名大学数学系教授)「莫能究其深奥,是故废而不理」,遂失传。现在只知道他在计算圆周率及与其子祖暅 (小老师) 之解决球体积方面的贡献。此外,这一时期,还编纂了《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》(已佚)、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等著作,开辟了同余式解法等新的方向。隋唐国子监设算学馆,唐初李淳风等整理《算经十书》,成为算学馆的教材。

鸡兔同笼
鸡兔同笼是中国民间流传久远的趣味题,现存资料中最早见之于《孙子算经》卷下。题目是:「今有雉 (小老师)、兔同笼,上有三十五头,下九十四足。问雉、兔各几何?」《孙子算经》的解法是:「上置头,下置足。半其足,以头除足,以足除头,即得。」除训减。这是辗转相减:
头35353523 ( 雉数 )
足94471212 ( 兔数 )
其思路大约是:雉1头2足,兔1头4足。半其足为47,头仍为35,则雉为1头1足,兔为1头2足。足比头多,是因为每只兔比每只雉多1足,故多之数即兔数。总头数减兔数即雉数。


经过盛唐生产力的大发展,唐中叶之后,生产关系和社会各方面产生了新的变革,到宋元,土地由国有为主变成私有为主,佃农取代了魏唐农奴身份的部曲 (小知识)、徒附。农业、手工业、商业相当繁荣,思想统治也相对宽松,科学技术的发展进入中世纪的黄金时代。特别是造纸业与印刷技术的发达,对数学知识的流传更加方便。1084年北宋秘书省刊刻了汉唐九部算经,是为世界上首次印刷数学著作。数学迎来了筹算数学的高潮。这个高潮体现在两个方面。一是探讨乘除捷算法,赝本《夏侯阳算经》、《杨辉算法》、朱世杰《算学启蒙》等作出重大贡献,为珠算盘的产生准备了算法条件,珠算盘应运而生。一是在高次方程解法(增乘开方法)、同余式解法(大衍总数术)、列方程(天元术)与联立高次方程组解法(四元术)、高阶等差级数求和(垛 (小老师) 积术)与招差法(有限差分法)等方面取得超前其他文化传统几个世纪的重大成就。北宋贾宪撰《黄帝九章算经细草》,进一步抽象《九章算术》的算法,创造贾宪三角和增乘开方法,奠定了这些成就的基础。南宋时秦九韶撰《数书九章》、元代李冶撰《测圆海镜》、朱世杰撰《四元玉鉴》等均是提出这些成就的划时代著作。



朱世杰之后,元朝未出现高深的数学著作。明朝时期,虽然农、工、商业仍在发展,却由于理学统治、八股取士、大兴文字狱,禁锢了人们的思想,扼杀了自由创造。明朝数学水平远低于宋元。大数学家都看不懂增乘开方法、天元术、四元术等宋元重要成就,汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本,反而大都失传。从此,中国失去了数学大国的地位。另一方面,珠算盘的应用得到普及,并逐步取代算筹成为人们的主要计算工具,至今发挥着有益的作用。明朝出现了许多使用珠算的著作。程大位的《算法统宗》对普及珠算起了巨大作用,其影响远被朝鲜、日本和东南亚。


明末,利玛窦等传教士将西方数学传入中国,到1723年为第一阶段,主要传入几何、代数、三角等初等数学知识。利玛窦与徐光启合译了《几何原本》(小知识) (前6卷),从此,开始了中西数学的融会贯通,梅文鼎等作出了重要贡献。这一段集大成的结果是编纂了清康熙帝御定的《数理精蕴》53卷。1723年,雍正帝赶走传教士,从此人们一方面致力于消化传入的西方数学,明安图在幂 (小老师) 级数展开式方面作出了贡献。另一方面,一批失传已久的汉唐宋元算书被发现。戴震等校勘(小老师)《九章算术》等汉唐著作,促进了乾嘉时期研究古算的高潮,汪莱、李锐等在方程论;董佑诚、项名达、徐有壬、李善兰等继续推进幂级数展开式的研究;李善兰创造尖锥术,踏上了微积分的门槛。鸦片战争之后,列强轰开中国的大门,西方数学再一次传入中国。李善兰、华蘅 (小老师)芳等与传教士合译了若干微积分方面的西方数学著作,近代数学开始传入中国。清代从事数学研究的人比以往都多,也很执着,力图复兴中国数学。然而,碍于社会条件,与西方数学的差距却愈来愈大。上世纪初,中国传统数学中断,中国数学逐步融入统一的世界数学。